2次関数の判別問題をマスターしよう！軸、判別式、f(0)の3つの視点で攻略
2次関数の判別問題は、グラフの形やx軸との位置関係を考え、問題を解いていく重要な問題です。ただ、問題を見ただけでは、どこから手をつければいいか迷ってしまう人もいるのではないでしょうか。
今回は、2次関数の判別問題を解く上で特に重要な3つの要素、「軸」「判別式」「f(0)」に注目し、問題の解き方をわかりやすく解説していきます。
1. 軸で考える
2次関数のグラフは、軸に対して左右対称な形をしています。この軸の位置によって、グラフの形やx軸との位置関係が大きく変わってきます。
- 軸がx軸より左にある場合: グラフは下に凸の形で、x軸との共有点は2つ以上。
- 軸がx軸上にある場合: グラフは下に凸の形で、x軸との共有点は1つ（接する場合）。
- 軸がx軸より右にある場合: グラフは上に凸の形で、x軸との共有点は0個。
問題への応用
問題文で「常に正」「常に負」といった条件が与えられた場合、軸の位置を考えることで、aの符号や判別式の符号を絞り込むことができます。
2. 判別式で考える
判別式Dは、2次方程式の解の個数、つまりグラフとx軸の共有点の数を判断する上で非常に重要な要素です。
- D > 0: 2つの異なる実数解を持つ。グラフはx軸と2点で交わる。
- D = 0: 重解を持つ。グラフはx軸に接する。
- D < 0: 実数解を持たない。グラフはx軸と交わらない。
問題への応用
問題文で「異なる2つの実数解を持つ」「解を持たない」といった条件が与えられた場合、判別式Dの符号を調べることで、aの範囲を求めることができます。
3. f(0)で考える
f(0)は、グラフとy軸の交点のy座標を表します。つまり、グラフがy軸のどの位置を通るかを示しています。
- f(0) > 0: グラフはy軸の正の部分を通る。
- f(0) = 0: グラフは原点を通る。
- f(0) < 0: グラフはy軸の負の部分を通る。
問題への応用
問題文で「y切片が正」「原点を通る」といった条件が与えられた場合、f(0)の符号を調べることで、aの範囲を求めることができます。
4. 3つの要素を組み合わせる
多くの問題は、軸、判別式、f(0)の3つの要素を組み合わせて解く必要があります。
- 例: 「2次関数y = ax² + bx + cのグラフが常にx軸より上にあるようなaの値の範囲を求めよ」という問題の場合、
- 軸がx軸より下にある
- 判別式が負
- f(0)が正 という3つの条件を同時に満たすaの範囲を求める必要があります。
まとめ
2次関数の判別問題は、軸、判別式、f(0)の3つの要素をしっかりと理解し、問題文の条件に合わせて使い分けることが重要です。
これらの要素を組み合わせることで、複雑な問題も一つ一つ丁寧に解いていくことができます。
